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    德州扑克的数学-2:期望值

    期望值

    如果你带着赢钱的目标打德州扑克,那么期望值(EV)是你需要掌握的最重要概念。期望值是根据概率你平均将赢得或损失的资金。

    EV的一个意义是,如果你能够重复一个赌博,EV将告诉你,长期而言你将领先还是落后,以及领先或落后多少。如果你对于一个赌博的EV是70美分,而你能够把那个赌博进行100万次,那么平均的赌博结果将是盈利70万美元。你也许多于或少于那个数目,但将你的结果除以试验的次数将非常接近70美分——你的期望值。

    将期望值运用到扑克牌局之前,我们首先看看几个简单的例子。

    例1:你在一个掷币赌博中下注1美元。

    问题:这个赌博的期望值是多少?

    解答:计算EV的一般公式是:

    EV=结果1的概率x结果1的回报+结果2的概率x结果2的回报+…+结果N的概率x结果N的回报

    N是可能结果的数量。EV是结果的加权平均值,由每种结果的可能性计算而来。输和赢的概率都是1/2,我们将输计作-1美元,赢计作+1美元,那么EV是:1/2x(-1)+1/2x1=0美元。

    零期望值表明这个打赌是不亏不盈的。还要注意,零期望值并不是一个可能的赌博结果——你要么输1美元,要么赢1美元。这个平均值并不意味着一个典型值,正如你不可能发现一个家庭的孩子数量是全国平均的2.3个。

    例2:一个陌生人想和你打赌。他将扑克牌洗乱后抽出一张牌。如果是黑桃,他将付你5美元。否则你付他1美元。

    问题:你应该接受这个打赌吗?

    解答:每次你接受这个打赌,你将要么赢得5美元,要么输掉1美元。但平均而言你将赢得或损失一些钱。

    黑桃将在1/4的时候出现,你将获得5美元报酬。非黑桃牌将在3/4的时候出现,你将损失1美元。我们如果接受这个打赌,我们的EV将是:1/4x5+3/4x(-1)=0.5美元。

    这个0.5美元预期盈利意味着你应该玩这个游戏吗?通常是这样。有优势的赌徒总是试着采用正期望值的策略,而不是采用大多数时候赢钱的策略。只要其余25%时候的回报足以弥补损失,我们宁可75%的时候输钱。同样,如果潜在损失非常高,一种大多数时候赢钱的玩法也可能是错误的。

    假设你从1000美元开始,陌生人也是从1000美元开始,你们重复这种抽黑桃赌博,直到一方输光资金。这个0.5美元的期望值意味着你超过99%的时候将是带走所有钱离开的人。事实上,即使你的对手从100万美元开始挑战拿着1000美元的你,他也将平均每手牌送给你0.5美元。

    如果你只有1美元,你不要去赌;或者你有10美元,正打算买点必须的东西,那么这种损失其实远大于你1/5时候的收益。如果你的损失超过了票面价值,那么这种赌博可能是不合算的。

    另外,如果你可以做其他更值得做的事情,你或许也不要去参加这个赌博。上面的期望值计算方法忽略了你的时间成本,如果这个赌博浪费你太多时间,那么你或许没赚到钱,即使你保证自己的时间能换来0.5美元,就像你为了得到一美元可能需要排队一小时。

    因为以上原因拒绝一个赌博是可行的,但拒绝一个正期望值的赌博,你的头脑中应该有一个明确的理由。如果你正在打扑克,你应该试着找到上述赌博,而不是拒绝它们。

    牌例3:现在假设那个陌生人只给你一次游戏的机会,而不是把所有钱赌完。

    问题:你还会接受这个赌博吗?

    解答:会。虽然重复赌博可能有助于你的直觉,但它是非必要的。你可能会错过这个机会,但你还有其他类似的机会。在德州扑克中,这种机会存在于一手接一手的牌局中。赢利牌手通常会搜寻并接受好的赌博,同时避免亏钱的赌博。

    扑克中的期望值

    现在我们在以下例子中把期望值这个概念运用到扑克中。

    例1:我们转牌圈拿一手有11张补牌的听牌全压。底池有1000美元。

    问题:我们的EV是多少?

    解答:我们的EV是11/44x1000+33/44x0=250美元。

    我们可以通过忽略价值为零的结果将等式简化成11/44x1000。1/4的时候我们将获得1000美元回报,因此我们的EV是1/4x1000美元。

    例2:如前所述,我们转牌圈拿一手有11张补牌的听牌全压。底池有1000美元。现在,我们的对手提议发牌两次,这意味着将底池分成两个500美元的分池,在不洗牌的情况下分别为每个底池发一次河牌。

    问题:发牌两次的EV是多少?

    解答:我们两个底池都拿下的概率是11/44x10/43,然后将这个结果乘以1000,得出期望值为58.1美元。我们只拿下第一个底池的概率是11/44x33/43,然后将其乘以500,得出期望值为95.93美元。我们只拿下第二个底池的概率是33/44x11/43,然后将其乘以500,得出期望值为95.93美元。我们输掉所有两个底池的概率是33/44x32/43,将其乘以0,结果为0。总计期望值为58.1+95.93+95.93=250美元,与只发牌一次的期望值一致。发牌两次没有任何期望值的增益。

    我们可以看到,期望值有一种微妙的特征,不管是发牌两次还是十次,都不会影响到EV。

    在发牌之前,第二张发牌发出你的11张补牌之一的概率与第一张(或第十张)发出的概率相同:11/44,因此你每个分池的预期份额都是11/44。虽然你不可能同一张牌发出两次,因而结果是相互关联的,但每个分池的期望值相等的说法是正确的。

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